Quadratische Ergänzung: Warum die Regel mit dem halben Koeffizienten funktioniert
Forme einen quadratischen Ausdruck in die Form der quadratischen Ergänzung um und verstehe die Regel mit dem halben Koeffizienten, statt sie blind auswendig zu lernen.
Welche Form du erzeugen möchtest
Bei der quadratischen Ergänzung wird x² + bx + c umgeschrieben als (x + p)² + q. Dadurch lassen sich Scheitelpunkte, Minimalwerte und das Lösen von Gleichungen oft leichter erkennen.
Woher die Regel „halbiere den Koeffizienten“ wirklich kommt
Multipliziere aus: (x+p)² und du erhältst x² + 2px + p². Damit der x-Koeffizient bentspricht, muss gelten 2p=b, also p=b/2.
Durchgerechnetes Beispiel
x² + 6x + 5.
- Halbiere 6 und erhalte 3.
- Beginne mit
(x+3)². - Beim Ausmultiplizieren erhältst du
x²+6x+9, also 4 zu viel. - Ziehe 4 ab.
Negativer mittlerer Term
Bei x² − 8x + 1ist die Hälfte von −8 gleich −4:
Wenn x² einen Koeffizienten hat
Klammere ihn zuerst aus den x²- und x-Termen aus. Bei 2x²+8x+1:
= 2[(x+2)² − 4] + 1
= 2(x+2)² − 7
Multipliziere einmal aus, um Vorzeichenfehler zu entdecken
Wenn du deine Endform ausmultiplizierst, muss exakt der ursprüngliche quadratische Ausdruck entstehen. Das ist die schnellste Selbstkontrolle.
In x² + 10x + 7 = (x + 5)² + q: Wie groß ist q?
Ein negativer mittlerer Koeffizient
Forme x²−6x+5 um, indem du −6 halbierst und −3 erhältst. Durch das Quadrieren von x−3 entsteht die Konstante 9; diese zusätzliche 9 musst du wieder ausgleichen.
= (x−3)² − 4
Beim Ausmultiplizieren der Endform erhältst du x²−6x+9−4 und damit wieder den ursprünglichen Ausdruck. Wenn du ihn gleich null setzt, ergibt (x−3)²=4 die Gleichung x−3=±2, also x=1 oder x=5.
Probier es aus und prüfe dann den Rechenweg
Führe die quadratische Ergänzung für 2x²+8x+3 durch.
Lösung anzeigen
Klammere die führende 2 aus dem quadratischen und linearen Term aus: 2(x²+4x)+3. Im Inneren gilt x²+4x=(x+2)²−4. Daher wird der Ausdruck zu 2(x+2)²−8+3=2(x+2)²−5. Das Ausmultiplizieren liefert eine Kontrolle.
Umformen und Lösen getrennt halten
Die quadratische Ergänzung erzeugt einen äquivalenten Ausdruck. Lösungen erhältst du erst, wenn der Ausdruck einem bestimmten Wert gleichgesetzt wird. Beim Wurzelziehen während des Lösens musst du beide Vorzeichen berücksichtigen; müsste ein reelles Quadrat einer negativen Zahl entsprechen, gibt es keine reelle Lösung.
Schnellkontroll-Antwort anzeigen
Antwort: -18. Halbiere den Koeffizienten von x und gleiche die durch das Quadrieren entstandene Konstante aus.
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