Lineare Gleichungssysteme mit dem Eliminationsverfahren

Aktualisiert am 1. Oktober 2026•Algebra & Gleichungen

Löse zwei lineare Gleichungen durch geeignetes Multiplizieren und Eliminieren – mit Vorzeichenkontrolle, Einsetzprobe und effizientem Aufbau.

Was das Eliminationsverfahren macht

Zwei Gleichungen können dasselbe Paar unbekannter Größen beschreiben. Beim Eliminationsverfahren entsteht eine neue Gleichung mit nur einer Unbekannten, indem die Koeffizienten einer Variablen gleich groß und entgegengesetzt gemacht werden.

Wenn die Koeffizienten bereits passen

Beispiel:

2x + y = 11
3x − y = 9

Addiere die Gleichungen. Die Terme +y und −y heben sich auf.

5x = 20
x = 4

Setze ein in 2x + y = 11:

8 + y = 11
y = 3

Lösung: x = 4, y = 3.

Wenn du eine Gleichung multiplizieren musst

Wenn die Koeffizienten nicht passen, multipliziere eine oder beide vollständigen Gleichungen. Bei 2x+3y=13 und x+2y=8führt das Verdoppeln der zweiten Gleichung dazu, dass beide x-Koeffizienten 2 sind.

2x + 3y = 13
2x + 4y = 16
zweite minus erste Gleichung → y = 3
x + 2(3) = 8 → x = 2

Entscheide das Vorzeichen, bevor du die Gleichungen verbindest

Haben die Zielkoeffizienten entgegengesetzte Vorzeichen, addiere. Haben sie dasselbe Vorzeichen, subtrahiere. Untereinander geschriebene Gleichungen verringern Vorzeichenfehler.

Eine Lösung muss beide Gleichungen erfüllen

Ein Wertepaar ist nur dann korrekt, wenn es beide Gleichungen erfüllt. Das Einsetzen in beide ursprünglichen Gleichungen deckt viele Rechenfehler auf.

Wähle die Elimination mit möglichst kleinen Zahlen

Wähle die Variable, für deren Eliminierung die kleinsten Faktoren nötig sind. Die Methode bleibt gleich, aber einfachere Zahlen reduzieren Fehler.

Probier es selbst

Für x + y = 10 und x − y = 2: Wie groß ist x?

Wenn nötig beide Gleichungen multiplizieren

Löse 3x+2y=16 und 2x−3y=−11. Wenn du die erste Gleichung mit 3 und die zweite mit 2 multiplizierst, entstehen entgegengesetzte y-Koeffizienten.

9x + 6y = 48
4x − 6y = −22
13x = 26 → x = 2
3(2) + 2y = 16 → y = 5

Prüfe beide ursprünglichen Gleichungen: 6+10=16 und 4−15=−11. Beim Multiplizieren einer Gleichung wird auch ihre rechte Seite sowie jeder Term der linken Seite multipliziert.

Probier es aus und prüfe dann den Rechenweg

Was passiert bei x+y=4 und 2x+2y=10?

Lösung anzeigen

Verdoppelst du die erste Gleichung, erhältst du 2x+2y=8. Das widerspricht der zweiten Gleichung. Durch Subtraktion entsteht 0=2, also gibt es keine Lösung. Wäre die rechte Seite der zweiten Gleichung stattdessen 8, würden beide Gleichungen dieselbe Gerade beschreiben und es gäbe unendlich viele Lösungen.

Eine eliminierte Variable führt nicht immer zu genau einer Lösung. Eine wahre Identität weist auf abhängige Gleichungen hin; eine unmögliche konstante Gleichung bedeutet, dass das System widersprüchlich ist. Interpretiere die verbleibende Aussage, bevor du durch irgendetwas teilst.

Schnellkontroll-Antwort anzeigen

Antwort: 6. Addiere die Gleichungen und erhalte 2x=12. Dann ist y=4.

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